Квадрат. Основные свойства

Описание

В этой теме ученик знакомится с квадратом как частным случаем прямоугольника и ромба. Ученик изучает основные свойства квадрата: все стороны равны, все углы прямые, противоположные стороны параллельны, диагонали равны, перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Цели изучения

• Понимать, что такое квадрат.
• Знать, что квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
• Знать, что квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.
• Понимать, что квадрат является параллелограммом.
• Использовать свойство равенства всех сторон квадрата.
• Понимать, что все углы квадрата равны 90°.
• Использовать свойство диагоналей квадрата: диагонали равны.
• Знать, что диагонали квадрата перпендикулярны.
• Знать, что диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
• Знать, что диагонали квадрата делят углы квадрата пополам.
• Находить периметр квадрата по стороне.
• Отличать квадрат от прямоугольника и ромба.

Термины

Квадрат

Прямоугольник, у которого все стороны равны. Также квадрат можно рассматривать как ромб, у которого все углы прямые.

Сторона квадрата

Любая сторона квадрата. У квадрата все четыре стороны равны.

Прямой угол

Угол, равный 90°.

Диагонали квадрата

Отрезки, соединяющие противоположные вершины квадрата. В квадрате ABCD это AC и BD.

Перпендикулярные диагонали

Диагонали, которые пересекаются под прямым углом, то есть под углом 90°.

Периметр квадрата

Сумма длин всех сторон квадрата.

Основные правила

• Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
• Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.
• Квадрат является параллелограммом.
• Все стороны квадрата равны.
• Все углы квадрата равны 90°.
• Противоположные стороны квадрата параллельны.
• Диагонали квадрата равны.
• Диагонали квадрата перпендикулярны.
• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
• Диагонали квадрата делят углы квадрата пополам.
• Периметр квадрата равен четырём сторонам: P = 4a.

Формулы

• Периметр квадрата

  P = 4a

  Если сторона квадрата равна a, то его периметр равен 4a, потому что все четыре стороны квадрата равны.

• Равенство сторон квадрата

  AB = BC = CD = AD

  В квадрате ABCD все стороны равны.

• Все углы прямые

  ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

  В квадрате все четыре угла равны 90°.

• Равенство диагоналей

  AC = BD

  В квадрате диагонали равны.

• Диагонали делятся пополам

  AO = OC, BO = OD

  Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то точка O делит каждую диагональ пополам.

• Диагонали перпендикулярны

  AC ⟂ BD

  Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.

Примеры

Полезные рекомендации

• Если задача про стороны квадрата, сразу вспоминай: все стороны равны.
• Если задача про углы квадрата, помни: каждый угол равен 90°.
• Если задача про периметр квадрата, используй формулу P = 4a.
• Если задача про диагонали квадрата, помни сразу четыре свойства: диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам и делят углы пополам.
• Не путай квадрат и прямоугольник: у прямоугольника не все стороны обязательно равны.
• Не путай квадрат и ромб: у ромба не все углы обязательно прямые.
• Квадрат объединяет свойства прямоугольника и ромба.

Частые ошибки

• Ученик считает, что квадрат — это любой четырёхугольник.
• Ученик забывает, что квадрат является и прямоугольником, и ромбом.
• Ученик считает, что у квадрата равны только противоположные стороны, а не все четыре.
• Ученик забывает, что все углы квадрата равны 90°.
• Ученик путает квадрат с прямоугольником и считает, что любой прямоугольник является квадратом.
• Ученик путает квадрат с ромбом и считает, что любой ромб является квадратом.
• Ученик забывает, что диагонали квадрата равны.
• Ученик забывает, что диагонали квадрата перпендикулярны.
• Ученик забывает, что диагонали квадрата делят углы пополам.
• Ученик неверно считает периметр квадрата.

Требования к ответу

• В задачах на длины ответ желательно давать с единицей измерения, например: 12 см.
• В задачах на углы ответ желательно давать в градусах, например: 90°.
• В задачах на свойства можно отвечать коротко, но смысл должен быть точным.