Параллелограмм. Основные свойства

Описание

В этой теме ученик знакомится с параллелограммом, его сторонами, углами, диагоналями и основными свойствами: противоположные стороны равны, противоположные углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Цели изучения

• Понимать, что такое параллелограмм.
• Знать, что у параллелограмма противоположные стороны попарно параллельны.
• Использовать свойство равенства противоположных сторон параллелограмма.
• Использовать свойство равенства противоположных углов параллелограмма.
• Понимать, что соседние углы параллелограмма в сумме равны 180°.
• Использовать свойство диагоналей параллелограмма: диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• Находить периметр параллелограмма по двум соседним сторонам.

Термины

Параллелограмм

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Противоположные стороны параллелограмма

Стороны, которые не имеют общей вершины. В параллелограмме ABCD это AB и CD, BC и AD.

Соседние стороны параллелограмма

Стороны, которые имеют общую вершину. Например, AB и BC.

Противоположные углы параллелограмма

Углы, которые не имеют общей стороны. В параллелограмме ABCD это ∠A и ∠C, ∠B и ∠D.

Диагонали параллелограмма

Отрезки, соединяющие противоположные вершины параллелограмма. В ABCD это AC и BD.

Основные правила

• Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
• В параллелограмме противоположные стороны равны.
• В параллелограмме противоположные углы равны.
• Соседние углы параллелограмма в сумме равны 180°.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
• Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух соседних сторон.

Формулы

• Периметр параллелограмма

  P = 2(a + b)

  Если соседние стороны параллелограмма равны a и b, то его периметр равен 2(a + b).

• Сумма соседних углов параллелограмма

  ∠A + ∠B = 180°

  Любые два соседних угла параллелограмма являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых, поэтому их сумма равна 180°.

• Равенство противоположных сторон

  AB = CD, BC = AD

  В параллелограмме ABCD противоположные стороны попарно равны.

• Равенство противоположных углов

  ∠A = ∠C, ∠B = ∠D

  В параллелограмме ABCD противоположные углы попарно равны.

• Свойство диагоналей

  AO = OC, BO = OD

  Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то точка O делит каждую диагональ пополам.

Примеры

Полезные рекомендации

• Если дана сторона параллелограмма, ищи противоположную сторону: она равна данной.
• Если дана пара углов, вспомни: противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.
• Если задача про периметр, используй формулу P = 2(a + b).
• Если задача про диагонали, помни: точка пересечения делит каждую диагональ пополам.
• Не путай свойства параллелограмма со свойствами произвольного четырёхугольника: не у каждого четырёхугольника противоположные стороны равны.

Частые ошибки

• Ученик считает, что у любого четырёхугольника противоположные стороны равны.
• Ученик путает противоположные и соседние стороны.
• Ученик считает, что соседние углы параллелограмма равны, хотя они обычно дают сумму 180°.
• Ученик забывает умножить сумму двух соседних сторон на 2 при нахождении периметра.
• Ученик считает, что диагонали параллелограмма равны, хотя в общем случае они только делятся пополам.
• Ученик путает свойство диагоналей параллелограмма со свойством диагоналей прямоугольника.

Требования к ответу

• В задачах на длины ответ желательно давать с единицей измерения, например: 8 см.
• В задачах на углы ответ желательно давать в градусах, например: 110°.
• В задачах на свойства можно отвечать коротко, но смысл должен быть точным.