Вписанная и описанная окружности треугольника

Описание

Тема посвящена окружности, вписанной в треугольник, и окружности, описанной около треугольника. Ученик научится различать эти окружности, определять их центры, использовать свойства биссектрис и серединных перпендикуляров, а также находить радиусы в основных случаях.

Цели изучения

• Понимать, какая окружность называется вписанной в треугольник.
• Понимать, какая окружность называется описанной около треугольника.
• Определять центр вписанной окружности.
• Определять центр описанной окружности.
• Использовать свойство биссектрис углов треугольника.
• Использовать свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
• Понимать, почему радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне в точке касания.
• Определять положение центра описанной окружности для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников.
• Находить радиус описанной окружности прямоугольного треугольника.
• Применять формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр.
• Использовать равенство касательных отрезков, проведённых из одной вершины треугольника.

Термины

Вписанная окружность

Окружность, которая касается всех трёх сторон треугольника.

Центр вписанной окружности

Точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Радиус вписанной окружности

Перпендикуляр, проведённый из центра вписанной окружности к стороне треугольника.

Описанная окружность

Окружность, проходящая через все три вершины треугольника.

Центр описанной окружности

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Серединный перпендикуляр

Прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку.

Точка касания

Общая точка стороны треугольника и вписанной окружности.

Полупериметр

Половина периметра треугольника.

Основные правила

• В любой треугольник можно вписать единственную окружность.
• Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
• Центр вписанной окружности всегда находится внутри треугольника.
• Радиусы, проведённые к точкам касания вписанной окружности со сторонами, перпендикулярны этим сторонам.
• Расстояния от центра вписанной окружности до всех трёх сторон треугольника равны.
• Касательные отрезки, проведённые из одной вершины треугольника к вписанной окружности, равны.
• Около любого треугольника можно описать единственную окружность.
• Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
• Центр описанной окружности равноудалён от всех трёх вершин треугольника.
• В остроугольном треугольнике центр описанной окружности находится внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится в середине гипотенузы.
• В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности находится вне треугольника.
• Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.
• В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
• Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

Формулы

• Площадь через вписанную окружность

  S = p · r

  S является площадью треугольника, p является полупериметром, r является радиусом вписанной окружности.

• Радиус вписанной окружности

  r = S : p

  Чтобы найти радиус вписанной окружности, площадь треугольника делят на полупериметр.

• Полупериметр

  p = (a + b + c) : 2

  Полупериметр равен половине суммы длин всех сторон треугольника.

• Описанная окружность прямоугольного треугольника

  R = c : 2

  В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы c.

• Равенство радиусов описанной окружности

  OA = OB = OC = R

  Центр описанной окружности равноудалён от всех вершин треугольника.

• Равенство расстояний до сторон

Примеры

Полезные рекомендации

• Сначала определи, окружность касается сторон или проходит через вершины.
• Если окружность касается всех сторон, она вписана в треугольник.
• Если окружность проходит через все вершины, она описана около треугольника.
• Для центра вписанной окружности ищи пересечение биссектрис.
• Для центра описанной окружности ищи пересечение серединных перпендикуляров.
• Не путай серединный перпендикуляр с медианой или высотой.
• Помни, что центр вписанной окружности всегда находится внутри треугольника.
• Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника.
• В прямоугольном треугольнике сначала найди гипотенузу.
• При использовании формулы S = p · r не путай периметр и полупериметр.
• Радиус к точке касания всегда перпендикулярен стороне.
• Касательные отрезки из одной вершины имеют одинаковую длину.

Частые ошибки

• Называть вписанной окружность, проходящую через вершины треугольника.
• Называть описанной окружность, касающуюся сторон треугольника.
• Считать центром вписанной окружности точку пересечения медиан.
• Считать центром описанной окружности точку пересечения биссектрис.
• Путать серединный перпендикуляр с медианой.
• Считать, что центр вписанной окружности может находиться вне треугольника.
• Считать, что центр описанной окружности всегда находится внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике делить на 2 катет вместо гипотенузы.
• Использовать периметр вместо полупериметра в формуле S = p · r.
• Забывать перпендикулярность радиуса стороне в точке касания.
• Считать равными касательные отрезки, проведённые из разных вершин.
• Путать радиусы вписанной и описанной окружностей.

Требования к ответу

• В теоретических ответах точно различать вписанную и описанную окружности.
• При указании центра вписанной окружности называть точку пересечения биссектрис.
• При указании центра описанной окружности называть точку пересечения серединных перпендикуляров.
• В числовых задачах указывать положительную длину.
• Допускаются ответы с единицей измерения и без неё, если единица указана в условии.
• При нахождении полупериметра сумму сторон делить на 2.
• При использовании формулы площади различать S, p и r.
• В прямоугольном треугольнике использовать половину гипотенузы.
• При объяснении равенства касательных указывать, что они проведены из одной точки.