Угол между касательной и хордой

Описание

Тема посвящена углу, образованному касательной к окружности и хордой, проведённой из точки касания. Такой угол равен половине градусной меры дуги, заключённой внутри угла. Он также равен вписанному углу, который опирается на ту же дугу.

Цели изучения

• Понимать, какой угол называется углом между касательной и хордой.
• Находить дугу, на которую опирается угол между касательной и хордой.
• Применять теорему об угле между касательной и хордой.
• Находить угол по известной дуге.
• Находить дугу по известному углу.
• Сравнивать угол между касательной и хордой с вписанным углом.
• Использовать перпендикулярность радиуса и касательной в точке касания.

Термины

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Точка касания

Общая точка касательной и окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности.

Угол между касательной и хордой

Угол, вершина которого находится в точке касания, одна сторона лежит на касательной, а другая проходит по хорде.

Дуга, заключённая внутри угла

Дуга окружности, расположенная между сторонами рассматриваемого угла.

Вписанный угол

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Основные правила

• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, заключённой внутри этого угла.
• Чтобы найти угол между касательной и хордой, градусную меру соответствующей дуги нужно разделить на 2.
• Чтобы найти дугу, градусную меру угла между касательной и хордой нужно умножить на 2.
• Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, который опирается на ту же дугу.
• Для острого угла обычно рассматривается меньшая дуга, а для тупого угла может рассматриваться большая дуга.
• Два угла между касательной и хордой, расположенные по разные стороны хорды, являются смежными и в сумме дают 180°.

Формулы

• Угол по дуге

  угол = дуга : 2

  Градусную меру дуги, заключённой внутри угла, делим на 2.

• Дуга по углу

  дуга = угол · 2

  Градусную меру угла между касательной и хордой умножаем на 2.

• Связь с вписанным углом

  угол между касательной и хордой = вписанный угол

  Равенство выполняется, когда оба угла опираются на одну и ту же дугу.

• Радиус и касательная

  радиус ⟂ касательной

  Радиус, проведённый в точку касания, образует с касательной угол 90°.

Примеры

Полезные рекомендации

• Сначала найди точку касания.
• Определи, какая сторона угла является касательной, а какая хордой.
• Проверь, какая дуга заключена внутри рассматриваемого угла.
• Для нахождения угла раздели дугу на 2.
• Для нахождения дуги умножь угол на 2.
• Не путай угол между касательной и хордой с центральным углом.
• При необходимости используй факт, что радиус перпендикулярен касательной.

Частые ошибки

• Принимать точку касания за центр окружности.
• Считать угол равным всей дуге, а не половине дуги.
• Умножать дугу на 2 вместо деления на 2.
• Делить угол на 2 при нахождении дуги.
• Выбирать дугу, которая не заключена внутри рассматриваемого угла.
• Путать касательную с секущей.
• Забывать, что радиус перпендикулярен касательной.
• Сравнивать углы, которые опираются на разные дуги.

Требования к ответу

• В числовых задачах указывать градусную меру угла или дуги.
• Допускаются ответы с символом градуса и без него.
• В теоретических задачах называть касательную, хорду, точку касания и соответствующую дугу.
• При объяснении использовать правило: угол равен половине дуги, заключённой внутри угла.
• При сравнении с вписанным углом обязательно указывать, что углы опираются на одну и ту же дугу.