Итоговое повторение по окружности

Описание

Итоговая тема объединяет основные понятия и теоремы об окружности: радиус, диаметр, хорду, дугу, касательную, секущую, центральные и вписанные углы, угол между касательной и хордой, произведения отрезков хорд и секущих, а также вписанную и описанную окружности треугольника.

Цели изучения

• Повторить основные элементы окружности.
• Различать радиус, диаметр, хорду, дугу, касательную и секущую.
• Использовать связь диаметра и радиуса.
• Определять градусную меру центрального угла и соответствующей дуги.
• Находить вписанный угол по дуге и дугу по вписанному углу.
• Использовать свойство угла, опирающегося на диаметр.
• Применять теорему об угле между касательной и хордой.
• Использовать перпендикулярность радиуса и касательной.
• Применять теорему о пересекающихся хордах.
• Применять теорему о двух секущих из одной внешней точки.
• Применять теорему о касательной и секущей.
• Использовать равенство двух касательных из одной точки.
• Различать вписанную и описанную окружности треугольника.
• Определять центры вписанной и описанной окружностей.
• Применять основные формулы темы в комбинированных задачах.

Термины

Окружность

Множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки, называемой центром.

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой окружности.

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности.

Дуга

Часть окружности между двумя её точками.

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках.

Центральный угол

Угол, вершина которого находится в центре окружности.

Вписанный угол

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Вписанная окружность треугольника

Окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника.

Описанная окружность треугольника

Окружность, проходящая через все три вершины треугольника.

Основные правила

• Диаметр равен двум радиусам.
• Радиус равен половине диаметра.
• Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
• Дуга, на которую опирается вписанный угол, в два раза больше этого угла.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусам.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, заключённой внутри угла.
• Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
• Если хорды AB и CD пересекаются в точке P внутри окружности, то PA · PB = PC · PD.
• Если из внешней точки P проведены две секущие PAB и PCD, то PA · PB = PC · PD.
• В произведении для секущей внешняя часть умножается на всю секущую.
• Если из внешней точки P проведены касательная PT и секущая PAB, то PT² = PA · PB.
• Две касательные, проведённые из одной внешней точки, равны.
• Центр вписанной окружности треугольника находится в точке пересечения биссектрис.
• Центр описанной окружности треугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.
• В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится в середине гипотенузы.

Формулы

• Диаметр через радиус

  d = 2 · r

  Диаметр равен удвоенному радиусу.

• Радиус через диаметр

  r = d : 2

  Радиус равен половине диаметра.

• Центральный угол

  центральный угол = соответствующая дуга

  Градусные меры центрального угла и дуги равны.

• Вписанный угол

  вписанный угол = дуга : 2

  Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

• Дуга через вписанный угол

  дуга = 2 · вписанный угол

  Для нахождения дуги вписанный угол удваивают.

• Угол между касательной и хордой

  угол = дуга : 2

  Используется дуга, заключённая внутри угла.

Примеры

Полезные рекомендации

• Сначала определи, к какому разделу относится задача.
• Проверь, где находится вершина угла: в центре, на окружности или в точке касания.
• Для центрального угла используй равенство с дугой.
• Для вписанного угла и угла между касательной и хордой дели дугу на 2.
• Если известен вписанный угол, для нахождения дуги умножай его на 2.
• При виде диаметра проверь возможность использовать прямой угол.
• При работе с касательной помни о перпендикулярности радиусу.
• Для пересекающихся хорд перемножай отрезки одной хорды.
• Для двух секущих умножай внешнюю часть на всю секущую.
• Для касательной и секущей используй квадрат касательной.
• При извлечении квадратного корня выбирай положительную длину.
• Вписанная окружность касается сторон, описанная проходит через вершины.
• Центр вписанной окружности ищи на пересечении биссектрис.
• Центр описанной окружности ищи на пересечении серединных перпендикуляров.
• В формуле S = p · r используй полупериметр, а не полный периметр.
• После решения проверь единицу измерения и смысл полученного ответа.

Частые ошибки

• Путать радиус и диаметр.
• Считать вписанный угол равным всей дуге.
• Делить центральный угол на 2.
• Не удваивать вписанный угол при нахождении дуги.
• Выбирать неправильную дугу для угла между касательной и хордой.
• Забывать, что радиус перпендикулярен касательной.
• Складывать отрезки пересекающихся хорд вместо умножения.
• Для секущей умножать внешнюю часть на внутреннюю.
• Не находить всю секущую перед применением теоремы.
• Записывать PT · 2 вместо PT².
• Не извлекать квадратный корень при нахождении касательной.
• Путать вписанную и описанную окружности треугольника.
• Путать биссектрисы и серединные перпендикуляры.
• Делить катет вместо гипотенузы при нахождении R.
• Использовать полный периметр вместо полупериметра.

Требования к ответу

• В числовых задачах указывать положительное значение.
• Допускаются ответы с единицей измерения и без неё, если единица указана в условии.
• В задачах на углы указывать градусы или числовую меру угла.
• При нахождении вписанного угла делить дугу на 2.
• При нахождении дуги по вписанному углу умножать угол на 2.
• В задачах на хорды и секущие правильно составлять равенство произведений.
• В задачах на касательную и секущую использовать квадрат касательной.
• При объяснении вписанной окружности указывать касание всех сторон.
• При объяснении описанной окружности указывать прохождение через все вершины.
• При нахождении центров окружностей точно называть соответствующие линии.
• В формулах и решениях деление отображать знаком двоеточия.