Вписанный угол. Связь с дугой

Описание

В этой теме ученик знакомится с вписанным углом и его связью с дугой окружности. Ученик учится распознавать вписанный угол, определять дугу, на которую он опирается, находить вписанный угол по градусной мере дуги, находить дугу по вписанному углу, сравнивать центральный и вписанный углы, а также применять свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр.

Цели изучения

• Понять, что такое вписанный угол.
• Знать, что вершина вписанного угла находится на окружности.
• Знать, что стороны вписанного угла пересекают окружность.
• Научиться определять дугу, на которую опирается вписанный угол.
• Понять связь вписанного угла и соответствующей дуги.
• Находить вписанный угол по градусной мере дуги.
• Находить дугу по градусной мере вписанного угла.
• Сравнивать центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу.
• Знать, что центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
• Знать, что вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Понимать, что вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Знать, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
• Распознавать прямой вписанный угол.
• Решать простые задачи на вписанный угол и дугу.
• Решать простые задачи на центральный и вписанный углы.

Термины

Вписанный угол

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Дуга, на которую опирается вписанный угол

Дуга окружности, расположенная между точками пересечения сторон угла с окружностью и не содержащая вершину угла.

Центральный угол

Угол, вершина которого находится в центре окружности.

Полуокружность

Дуга окружности с концами на концах диаметра, имеющая градусную меру 180°.

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Углы, опирающиеся на одну дугу

Вписанные углы, стороны которых пересекают окружность в одних и тех же концах дуги.

Основные правила

• Вершина вписанного угла лежит на окружности.
• Стороны вписанного угла пересекают окружность.
• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
• Чтобы найти вписанный угол, градусную меру соответствующей дуги нужно разделить на 2.
• Чтобы найти дугу, на которую опирается вписанный угол, градусную меру угла нужно умножить на 2.
• Центральный угол равен градусной мере соответствующей дуги.
• Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
• Вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
• Дуга полуокружности имеет градусную меру 180°.
• Половина от 180° равна 90°, поэтому угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Формулы

• Вписанный угол по дуге

  ∠ACB = дуга AB : 2

  Градусная мера вписанного угла ACB равна половине градусной меры дуги AB, на которую он опирается.

• Дуга по вписанному углу

  дуга AB = 2 · ∠ACB

  Градусная мера дуги AB в два раза больше вписанного угла ACB, который на неё опирается.

• Центральный и вписанный углы

  ∠AOB = 2 · ∠ACB

  Центральный угол AOB в два раза больше вписанного угла ACB, если оба угла опираются на одну дугу AB.

• Вписанный угол и центральный угол

  ∠ACB = ∠AOB : 2

  Вписанный угол ACB равен половине центрального угла AOB, если оба угла опираются на одну дугу AB.

• Угол, опирающийся на диаметр

  180° : 2 = 90°

  Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен половине полуокружности и составляет 90°.

Примеры

Полезные рекомендации

• Сначала найди вершину угла. У вписанного угла вершина лежит на окружности.
• Проверь, что обе стороны угла пересекают окружность.
• Определи две точки окружности, через которые проходят стороны угла.
• Дуга между этими точками, не содержащая вершину угла, является дугой, на которую опирается угол.
• Чтобы найти вписанный угол по дуге, раздели градусную меру дуги на 2.
• Чтобы найти дугу по вписанному углу, умножь градусную меру угла на 2.
• Не путай вписанный угол с центральным: у центрального угла вершина находится в центре окружности.
• Центральный угол в два раза больше вписанного угла, если они опираются на одну дугу.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90°.
• Если видишь диаметр и вершину угла на окружности, проверь возможность применения свойства прямого вписанного угла.

Частые ошибки

• Ученик считает любой угол внутри окружности вписанным.
• Ученик забывает, что вершина вписанного угла должна лежать на окружности.
• Ученик путает вписанный и центральный углы.
• Ученик считает, что вписанный угол равен всей дуге.
• Ученик умножает дугу на 2 вместо деления на 2.
• Ученик делит вписанный угол на 2 при поиске дуги.
• Ученик неправильно определяет дугу, на которую опирается угол.
• Ученик выбирает дугу, содержащую вершину вписанного угла.
• Ученик забывает, что вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Ученик не узнаёт прямой угол, опирающийся на диаметр.
• Ученик считает, что угол, опирающийся на диаметр, равен 180°.
• Ученик неверно связывает центральный и вписанный углы.

Требования к ответу

• В задачах на определение можно отвечать словами: вписанный угол или центральный угол.
• В задачах на вычисление угла ответ желательно давать в градусах, например: 50°.
• При нахождении вписанного угла нужно делить градусную меру дуги на 2.
• При нахождении дуги нужно умножать градусную меру вписанного угла на 2.
• В задачах с диаметром нужно помнить, что вписанный угол равен 90°.
• В задачах на равные вписанные углы нужно указать, что они опираются на одну дугу.