Пересекающиеся хорды, секущие и касательные

Описание

Тема посвящена соотношениям между отрезками пересекающихся хорд, двух секущих, а также касательной и секущей, проведённых из одной точки. Ученик научится составлять равенства произведений отрезков и находить неизвестные длины.

Цели изучения

• Различать хорду, секущую и касательную.
• Определять точку пересечения двух хорд внутри окружности.
• Применять теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.
• Различать внешнюю часть секущей и всю секущую.
• Применять теорему о двух секущих, проведённых из одной внешней точки.
• Применять теорему о касательной и секущей.
• Использовать свойство двух касательных, проведённых из одной точки.
• Составлять правильное равенство произведений.
• Находить неизвестный множитель с помощью деления.
• Проверять, что найденная длина является положительным числом.

Термины

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности.

Пересекающиеся хорды

Две хорды одной окружности, имеющие общую точку внутри окружности.

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках.

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Внешняя точка

Точка, расположенная вне окружности, из которой могут быть проведены секущие или касательные.

Внешняя часть секущей

Отрезок от внешней точки до ближайшей точки пересечения секущей с окружностью.

Внутренняя часть секущей

Отрезок секущей, расположенный внутри окружности.

Вся секущая

Отрезок от внешней точки до дальней точки пересечения секущей с окружностью.

Отрезок касательной

Отрезок от внешней точки до точки касания.

Основные правила

• Если хорды AB и CD пересекаются внутри окружности в точке P, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
• Для пересекающихся хорд выполняется равенство PA · PB = PC · PD.
• Если из внешней точки P проведены две секущие PAB и PCD, то произведение внешней части первой секущей на всю первую секущую равно произведению внешней части второй секущей на всю вторую секущую.
• Для двух секущих выполняется равенство PA · PB = PC · PD, где A и C являются ближайшими к P точками окружности, а B и D являются дальними точками.
• Если из внешней точки P проведены касательная PT и секущая PAB, то квадрат длины касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую.
• Для касательной и секущей выполняется равенство PT² = PA · PB.
• Две касательные, проведённые из одной внешней точки к окружности, имеют равные длины.
• Если из точки P проведены касательные PT и PS, то PT = PS.
• Вся секущая равна сумме её внешней и внутренней частей.
• При нахождении неизвестного множителя известное произведение нужно разделить на другой известный множитель.
• При нахождении длины касательной из равенства PT² = PA · PB берут положительный квадратный корень.

Формулы

• Пересекающиеся хорды

  PA · PB = PC · PD

  Точка P находится внутри окружности, а A, B, C и D лежат на окружности.

• Две секущие из одной внешней точки

  PA · PB = PC · PD

  В каждом произведении внешняя часть секущей умножается на всю секущую.

• Касательная и секущая

  PT² = PA · PB

  Квадрат касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую.

• Две касательные из одной точки

  PT = PS

  Отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки, равны.

• Вся секущая

  вся секущая = внешняя часть + внутренняя часть

  Перед составлением произведения иногда сначала требуется найти длину всей секущей.

• Неизвестный множитель

Примеры

Полезные рекомендации

• Сначала определи, где находится точка пересечения: внутри или вне окружности.
• Если точка находится внутри окружности, используй теорему о пересекающихся хордах.
• Если точка находится вне окружности, определи, проведены две секущие или касательная и секущая.
• У секущей обязательно различай внешнюю часть и всю секущую.
• Не подставляй внутреннюю часть вместо всей секущей.
• Для двух секущих умножай внешнюю часть каждой секущей на всю эту секущую.
• Для касательной и секущей возводи длину касательной в квадрат.
• Для двух касательных из одной точки используй их равенство.
• После составления равенства найди неизвестный множитель делением.
• Проверь, что ответ является положительной длиной.

Частые ошибки

• Складывать отрезки пересекающихся хорд вместо умножения.
• Перемножать отрезки, принадлежащие разным произведениям.
• Использовать сумму отрезков хорд вместо произведения.
• При работе с секущей умножать внешнюю часть на внутреннюю часть.
• Не находить всю секущую перед применением теоремы.
• Путать ближайшую и дальнюю точки пересечения секущей с окружностью.
• Записывать PT · 2 вместо PT².
• Считать длину касательной равной произведению отрезков секущей.
• Забывать извлечь квадратный корень при нахождении касательной.
• Выбирать отрицательное значение длины.
• Путать касательную с секущей.
• Не использовать равенство двух касательных из одной внешней точки.

Требования к ответу

• В числовых задачах указывать положительную длину.
• Допускаются ответы с единицей измерения и без неё, если единица указана в условии.
• При решении задач на хорды записывать равенство произведений отрезков.
• При решении задач на две секущие различать внешнюю часть и всю секущую.
• При решении задач на касательную и секущую использовать квадрат касательной.
• При нахождении всей секущей складывать внешнюю и внутреннюю части.
• При объяснении свойства двух касательных указывать, что они проведены из одной внешней точки.