Хорда, дуга, касательная, центральный угол

Описание

В этой теме ученик продолжает изучать окружность и знакомится с хордой, дугой, касательной и центральным углом. Ученик учится отличать хорду от диаметра, дугу от хорды, касательную от секущей, понимать свойство касательной и радиуса, проведённого в точку касания, а также находить простые центральные углы и соответствующие им дуги.

Цели изучения

• Повторить, что такое хорда окружности.
• Понять, что диаметр является хордой, проходящей через центр.
• Понять, что не каждая хорда является диаметром.
• Повторить, что такое дуга окружности.
• Научиться отличать дугу от хорды.
• Понять, что такое касательная к окружности.
• Понять, что касательная имеет с окружностью одну общую точку.
• Понять, что такое точка касания.
• Знать, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Понять, что такое секущая.
• Научиться отличать касательную от секущей.
• Понять, что такое центральный угол.
• Понимать связь центрального угла и дуги, на которую он опирается.
• Решать простые задачи на центральный угол.
• Решать простые задачи на свойство касательной и радиуса.

Термины

Хорда окружности

Отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Дуга окружности

Часть окружности между двумя её точками.

Касательная к окружности

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

Точка касания

Единственная общая точка окружности и касательной.

Секущая

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

Центральный угол

Угол, вершина которого находится в центре окружности.

Дуга, соответствующая центральному углу

Дуга окружности, лежащая между сторонами центрального угла.

Основные правила

• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности.
• Каждый диаметр является хордой, но не каждая хорда является диаметром.
• Дуга — это часть окружности между двумя точками окружности.
• Хорда — это отрезок внутри окружности, а дуга — часть самой окружности.
• Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку.
• Секущая имеет с окружностью две общие точки.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Центральный угол имеет вершину в центре окружности.
• Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, который на неё опирается.
• Если центральный угол равен 60°, то соответствующая ему дуга тоже имеет градусную меру 60°.
• Полная окружность соответствует углу 360°.

Формулы

• Свойство касательной и радиуса

  r ⟂ l

  Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной l.

• Центральный угол и дуга

  ∠AOB = дуга AB

  Градусная мера дуги AB равна градусной мере центрального угла AOB, если O — центр окружности.

• Полная окружность

  360°

  Полная окружность соответствует углу 360°.

• Оставшаяся дуга

  360° − α

  Если одна дуга имеет градусную меру α, то оставшаяся часть окружности имеет градусную меру 360° − α.

Примеры

Полезные рекомендации

• Хорда — это отрезок, у которого оба конца лежат на окружности.
• Диаметр — это особая хорда, которая проходит через центр.
• Дуга — это часть линии окружности, а не отрезок внутри окружности.
• Касательная касается окружности только в одной точке.
• Секущая пересекает окружность в двух точках.
• Точка касания — это единственная общая точка касательной и окружности.
• Радиус, проведённый в точку касания, образует с касательной прямой угол.
• Центральный угол легко узнать по вершине: она находится в центре окружности.
• Если центральный угол равен 100°, соответствующая дуга тоже равна 100°.
• Полная окружность — это 360°.
• Если известна одна дуга, оставшуюся часть окружности можно найти как 360° минус эта дуга.

Частые ошибки

• Ученик путает хорду и дугу.
• Ученик считает, что любая хорда является диаметром.
• Ученик забывает, что диаметр должен проходить через центр.
• Ученик путает касательную и секущую.
• Ученик считает, что касательная имеет две общие точки с окружностью.
• Ученик забывает, что касательная имеет ровно одну общую точку с окружностью.
• Ученик забывает, что радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
• Ученик путает центральный угол с любым углом внутри окружности.
• Ученик забывает, что вершина центрального угла находится в центре окружности.
• Ученик неверно связывает центральный угол и соответствующую дугу.
• Ученик забывает, что полная окружность равна 360°.
• Ученик неверно находит оставшуюся дугу.

Требования к ответу

• В задачах на названия элементов можно отвечать одним словом: хорда, дуга, касательная, секущая, центральный угол.
• В задачах на свойства нужно указывать точный смысл: касательная имеет одну общую точку, секущая — две.
• В задачах на углы ответ желательно давать в градусах, например: 90°.
• В задачах на центральный угол и дугу нужно помнить, что их градусные меры равны.
• В задачах на касательную и радиус нужно помнить, что радиус к точке касания перпендикулярен касательной.