Системы линейных уравнений

Описание

Тема учит решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Ученик знакомится с графическим смыслом системы, понимает, что решение системы — это пара чисел, которая подходит сразу к двум уравнениям, и учится решать системы методом подстановки и методом сложения.

Цели изучения

• Понять, что система линейных уравнений состоит из двух уравнений с двумя переменными.
• Понять, что решение системы — это пара чисел (x; y).
• Проверять, является ли пара чисел решением системы.
• Решать простые системы методом подстановки.
• Решать простые системы методом сложения.
• Понимать графический смысл системы как точку пересечения двух прямых.
• Отличать системы с одним решением, без решений и с бесконечным числом решений.

Термины

Система уравнений

Система — это несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно.

Решение системы

Решение системы двух уравнений с двумя переменными — это пара чисел (x; y), которая подходит сразу к обоим уравнениям.

Метод подстановки

Если из одного уравнения выражена одна переменная, её можно подставить во второе уравнение.

Метод сложения

Уравнения можно сложить или вычесть так, чтобы одна переменная исчезла.

Графический смысл

Каждое линейное уравнение задаёт прямую. Решение системы — это точка пересечения этих прямых.

Количество решений

Если прямые пересекаются — одно решение. Если параллельны — решений нет. Если совпадают — бесконечно много решений.

Формулы

• Общий вид линейного уравнения с двумя переменными

  ax + by = c

• Решение системы

  (x; y)

• Проверка решения

  подставить x и y в оба уравнения

• Метод подстановки

  если y = выражение, подставить это выражение вместо y

• Метод сложения

  сложить или вычесть уравнения, чтобы исключить одну переменную

Полезные рекомендации

• Определи, каким способом удобнее решать систему: подстановкой или сложением.
• Если одна переменная уже выражена, используй метод подстановки.
• Подставь выражение из одного уравнения во второе.
• Реши получившееся уравнение с одной переменной.
• Найди вторую переменную.
• Запиши ответ в виде пары (x; y).
• Проверь ответ подстановкой в оба исходных уравнения.
• Главная идея: решение системы должно подходить сразу к двум уравнениям. Поэтому после нахождения x и y всегда полезно сделать проверку в обоих уравнениях.