Тема 36Алгебра

Квадратные неравенства с параметром

ID темы: ALG-PARAM-QUAD-INEQ-01

Доступно задач: 20

Описание

В этой теме ученик учится работать с квадратными неравенствами, где параметр влияет на корни, дискриминант и промежутки решения.

Научить ученика решать простые квадратные неравенства с параметром и определять значения параметра, при которых неравенство выполняется для всех x, имеет решения или не имеет решений.

Квадратное неравенство: Неравенство, в котором левая часть является квадратным трёхчленом.
Параметр: Буква, которая обозначает фиксированное, но заранее неизвестное число.
Дискриминант: Выражение D = b² - 4ac, которое помогает определить количество корней квадратного трёхчлена.
Метод интервалов: Способ решения неравенств через разбиение числовой прямой корнями на промежутки.
Неравенство верно при всех x: Случай, когда любое действительное значение x является решением.

При положительном старшем коэффициенте квадратный трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между корнями.
Квадратный трёхчлен всегда положителен.
Квадратный трёхчлен неотрицателен при всех x и равен нулю в одной точке.
Квадратный трёхчлен имеет два корня, знак меняется на промежутках.
При знаках > и < корни не включаются, при знаках ≥ и ≤ корни включаются.
Перед решением квадратного неравенства с параметром нужно понять, как параметр влияет на корни или дискриминант.

Условие: При каких значениях параметра a неравенство x² - 4x + a ≥ 0 верно при всех x?

Решение

Ответ: a ≥ 4

Определи переменную и параметр.
Приведи неравенство к виду квадратного трёхчлена.
Определи направление ветвей параболы.
Найди корни или дискриминант.
Если корни зависят от параметра, рассмотри их порядок.
Если нужно условие на параметр, составь условие на D.
Реши полученное уравнение или неравенство относительно параметра.
Запиши ответ с условиями на параметр.
Проверь, включаются ли граничные точки.
В квадратных неравенствах с параметром не спеши записывать промежутки. Сначала проверь дискриминант и порядок корней.