Тема 34Алгебра

Линейные уравнения и неравенства с параметром

ID темы: ALG-PARAM-LINEAR-01

Доступно задач: 20

Описание

В этой теме ученик знакомится с параметром как с буквой, которая задаёт семейство задач. Главная цель — научиться понимать, при каких значениях параметра уравнение или неравенство имеет решение, не имеет решения или имеет особый вид.

Цели изучения

Научить ученика решать простые линейные уравнения и неравенства с параметром, отдельно рассматривая особые значения параметра.

Термины

Параметр: Буква, которая обозначает фиксированное, но заранее неизвестное число.
Переменная: Буква, значение которой нужно найти в задаче. В этой теме чаще всего это x.
Особое значение параметра: Значение параметра, при котором уравнение или неравенство меняет свой вид, например коэффициент при x становится равным нулю.
Линейное уравнение с параметром: Уравнение вида ax = b, где a или b могут зависеть от параметра.
Линейное неравенство с параметром: Неравенство первой степени, в котором коэффициенты зависят от параметра.

Основные правила

Если нужно разделить на выражение, содержащее параметр, сначала проверь, когда оно равно нулю.
Если b не равно 0, решений нет.
Если обе части равны нулю, решений бесконечно много.
После подстановки особого параметра нужно проверить, истинное или ложное числовое неравенство получилось.
Если делишь неравенство на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Главное правило параметров: перед делением на выражение с параметром проверь, когда это выражение равно нулю.

Примеры

Условие: Реши уравнение: ax = 6.

Решение

Параметр — a, переменная — x.
Если a ≠ 0, можно разделить на a: x = 6/a.
Если a = 0, получаем 0x = 6.
Уравнение 0x = 6 решений не имеет.

Ответ: при a ≠ 0: x = 6/a; при a = 0: нет решений

Полезные рекомендации

Определи, какая буква является переменной, а какая параметром.
Приведи уравнение или неравенство к простому виду.
Найди выражение, на которое нужно делить.
Проверь, при каких значениях параметра это выражение равно нулю.
Отдельно рассмотри особое значение параметра.
Для остальных значений параметра выполни деление.
Если это неравенство, проверь знак выражения, на которое делишь.
Запиши ответ с условиями на параметр.
В задачах с параметром не спеши делить. Сначала найди особые значения параметра.