Неравенства с модулем

Описание

Тема учит решать простые неравенства с модулем: |x| < a, |x| <= a, |x| > a, |x| >= a, а также неравенства вида |x - b| < a и |x - b| > a.

Цели изучения

• Понять связь модуля с расстоянием.
• Научиться решать неравенства вида |x| < a.
• Научиться решать неравенства вида |x| <= a.
• Научиться решать неравенства вида |x| > a.
• Научиться решать неравенства вида |x| >= a.
• Понять случаи, когда решений нет.
• Понять случаи, когда подходят все действительные числа.
• Научиться решать неравенства вида |x - b| < a и |x - b| > a.

Термины

Модуль как расстояние

Модуль показывает расстояние от числа до нуля. Поэтому условие |x| < a означает, что x находится ближе к нулю, чем a.

Меньше числа

Если |A| < b и b > 0, то -b < A < b.

Меньше или равно

Если |A| <= b и b > 0, то -b <= A <= b.

Больше числа

Если |A| > b и b > 0, то A < -b или A > b.

Больше или равно

Если |A| >= b и b > 0, то A <= -b или A >= b.

Отрицательная правая часть

Модуль не бывает отрицательным, поэтому неравенства с отрицательной правой частью нужно анализировать отдельно.

Формулы

• Модуль меньше положительного числа

  |A| < b, b > 0 => -b < A < b

• Модуль меньше или равен положительному числу

  |A| <= b, b > 0 => -b <= A <= b

• Модуль больше положительного числа

  |A| > b, b > 0 => A < -b или A > b

• Модуль больше или равен положительному числу

  |A| >= b, b > 0 => A <= -b или A >= b

• Модуль меньше нуля

  |A| < 0 => решений нет

• Модуль больше или равен нулю

  |A| >= 0 => все действительные числа

Полезные рекомендации

• Определить выражение внутри модуля.
• Посмотреть знак неравенства: <, <=, > или >=.
• Посмотреть число справа от модуля.
• Если справа положительное число и знак < или <=, записать двойное неравенство.
• Если справа положительное число и знак > или >=, записать два промежутка через «или».
• Если справа 0, отдельно проверить смысл неравенства.
• Если справа отрицательное число, отдельно проверить: решений нет или подходят все числа.
• Решить получившееся линейное неравенство или два линейных неравенства.
• Записать ответ в виде промежутка или условия для x.
• Главное правило: знак меньше даёт промежуток между двумя числами, а знак больше даёт два внешних промежутка.