Уравнения с модулем

Описание

Тема учит решать простые уравнения с модулем: |x| = a, |x - b| = a, |kx + b| = a, а также понимать случаи, когда решений нет.

Цели изучения

• Понять, что модуль связан с расстоянием.
• Научиться решать уравнение |x| = a.
• Понять, почему уравнение |x| = a при a > 0 имеет два решения.
• Понять, почему уравнение |x| = 0 имеет одно решение.
• Понять, почему уравнение |x| = -a не имеет решений.
• Научиться решать уравнения вида |x - b| = a.
• Научиться решать уравнения вида |kx + b| = a.

Термины

Модуль как расстояние

Модуль показывает расстояние до нуля. Поэтому модуль не может быть отрицательным.

Уравнение |x| = a

Если a > 0, то |x| = a имеет два решения: x = a и x = -a.

Уравнение |x| = 0

Если модуль равен нулю, то выражение внутри модуля равно нулю.

Уравнение |x| = -a

Если справа отрицательное число, решений нет, потому что модуль не бывает отрицательным.

Уравнение |A| = b

Если b > 0, то уравнение |A| = b заменяется двумя уравнениями: A = b или A = -b.

Формулы

• Основное правило

  |A| = b, b > 0 => A = b или A = -b

• Нулевой случай

  |A| = 0 => A = 0

• Отрицательная правая часть

  |A| = b, b < 0 => решений нет

• Пример

  |x - 2| = 5 => x - 2 = 5 или x - 2 = -5

Полезные рекомендации

• Проверить число справа от модуля.
• Если справа отрицательное число, сразу записать: решений нет.
• Если справа 0, приравнять выражение внутри модуля к 0.
• Если справа положительное число, раскрыть модуль через два случая.
• Первый случай: выражение внутри модуля равно положительному числу справа.
• Второй случай: выражение внутри модуля равно противоположному числу.
• Решить оба получившихся линейных уравнения.
• Записать оба корня или один корень, если он получился один.
• Главная проверка в начале: что стоит справа от модуля. Если справа отрицательное число, не нужно ничего раскрывать — решений нет.